应行仁：阿基里斯与乌龟的悖论解决了吗？(转)

紫荆棘鸟

紫荆棘鸟注：这是海外华人学者应行仁老师的随笔帖。URL: 阿基里斯与乌龟的悖论解决了吗?。众所周知，这个悖论又名“芝诺悖论”。芝诺诡辩（芝诺悖论）相信大家都知道，简单地说可以这样描述：假设阿奇里斯速度是乌龟的 10 倍，但只要乌龟先跑，阿奇里斯就永远追不上。比如说乌龟先跑 100 米，当阿奇里斯跑完这 100 米时，乌龟已经在阿奇里斯前面 10 米；当阿奇里斯跑完这 10 米时，乌龟已经在阿奇里斯前面1米；当阿奇里斯跑完这1米时，乌龟已经在阿奇里斯前面 0.1 米……因此结论是，尽管阿奇里斯和乌龟之间的距离越来越短，但乌龟却永远在阿奇里斯前面。阿奇里斯永远追不上乌龟。

我记得最开始接触这个诡辩时被芝诺弄糊涂了，不知如何去驳斥，于是一气之下去计算阿奇里斯和乌龟跑 200 米所需要的时间，结果自然是阿奇里斯所用的时间更短，所以结论自然是阿奇里斯能追上乌龟。但同学泼冷水说，你算得是没错，但你能说明芝诺错在哪里么？可是那时我就是不能。再后来念高中，从高一开始在老师的辅导下开始接触一元微积分，于是有了极限的概念，潜意识下就觉得驳斥之诺诡辩是小菜一碟（我想现在大部分人都是我这么想的吧），自此就不再将它当回事。也就是说，潜意识下我认为芝诺悖论已经解决了。

但真的解决了么？应行仁先生的这篇科普文章告诉我并非这么回事，就如同现在的数学中的直觉主义流派拒绝承认 1 = 0.9999999…… 一样。这是篇不错的科普文章，不同程度的读者，包括这里的诗人和散文好手，读后估计都会有所裨益。

紫荆棘鸟

                 应行仁: 阿基里斯与乌龟的悖论解决了吗?

芝诺的阿基里斯与乌龟赛跑的故事很有名，在书刊网上多有介绍，有些娱乐节目还依此为题，但大多解答都不得要领，没有正面回应悖论的挑战。

芝诺（Zeno 490BC-435BC）生活在古希腊，比孔子略迟，比庄子要早。他的阿基里斯与乌龟的悖论说：跑得最快的阿基里斯永远追不上跑得慢的乌龟。因为他首先必 须跑到乌龟的起跑点，这时候乌龟已经往前爬了一段路。当他赶上这段路时，乌龟又向前进了一些。如此等等，无论什么时候阿基里斯追到了乌龟当前的位置，乌龟 在这段时间内又向前爬拉开了距离，这个差距虽然在缩小但一直存在，在这无穷追赶过程中不会是零。因此跑得慢的乌龟永远领先，无法被超越。

有的人嗤之以鼻，这是谬论！悖论本来指的就是推理的结论与常识相矛盾，却不能发现逻辑上的漏洞。同样似是而非的东西，如果一眼就能看得穿，不需要什么脑筋， 叫“胡搅蛮缠”。如果让人反复思考仍不得其解，那就上了档次，叫“悖论”。悖论的价值在于促进人们思考。它的解决往往带来的观念的突破和新的理论建立。

中学读物里把阿基里斯与乌龟的距离除这两者的速度差，算出了什么时候阿基里斯追上乌龟。这点算术知识芝诺同时代人也懂，但这不叫破解悖论。一个悖论有两个对立面，一边是常识，一边是推理。计算只是重申与推理相矛盾的常识是对的。矛盾依然存在。这时破解就要直接面对悖论的逻辑推理，而不是用其他途径的答案来说明推理的荒谬。

第一个企图解答是近百年后的亚里士多德（Aristotle 384 BC−322 BC），他解释：“认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的 距离的话，那么它也是可以被赶上的。” 这句话只是作一个物理学的陈述，摇摆在当时两个冲突的无穷观念中，并没有正面回答芝诺提出的难题。

第二个是公元前212年阿基米德（Archimedes），他把每次追赶的路程相加起来计算阿基里斯和乌龟到底跑了多远。这问题归结为无穷级数求和的问题。他用个巧妙的方法算出等比级数的和。说明阿基里斯和乌龟的速度如果成比例的话，整个追赶过程是在有限的长度中。

在这种特例之外的情况，一直到了十九世纪柯西关于收敛性研究后才有了明确的答案。这结果是按照阿基米德的思路和收敛性研究的结果。结论是按照阿基里斯比乌龟快的条件，可能有两种结果。如果这个追赶的路程相加起来的无穷级数求和收敛，这个过程是在有限的长度中，否则不是有限的。在后者情况阿基里斯确实追不上乌龟。

可以编出一个不收敛的例子如下：乌龟领先阿基里斯1尺，当阿基里斯赶上这1尺时，乌龟又爬了1/2尺，阿基里斯赶上这1/2尺时，乌 龟又爬了1/3尺，阿基里斯赶上这1/n尺时，乌龟又爬了1/(n+1)尺，如此等等。阿基里斯确实比乌龟快，它们的距离每次都在缩短，但确实永远也追不 上。这个赋值的故事是调和级数求和，结果是无穷大。这时芝诺的推理与事实相符了，悖论成了佯谬，要纠正的是常识而不是推理。我们一般不再考虑这种情况了， 专注于有争议的收敛情况的解释。

到了这里，大家都觉得这个悖论已经被破解了。其实不然。阿基米德的思路确实是沿着芝诺追赶过程的逻辑走。 把这个过程描写成无穷级数求和的问题，给出整个追赶是在多长的范围内。芝诺的逻辑说这个差距在追赶的过程中永远存在，不会是零，所以不会被超越。对应着无穷级数求和是一个逼近的过程，它可以无限逼近它的极限值，但永远不会达到。因此阿基米德和现代级数收敛计算的结果只是给出了悖论常识一方可能被超越时的边界数值，而没有跨过这永远不会为零的间隙。

在收敛的情况下，阿基里斯事实上能够达到这个极限点从而超越，这与无穷级数求和只能无限逼近它的极限值仍然构成悖论矛盾的双方。

到底阿基里斯能不能追上乌龟，等价于这无穷级数求和能不能等于它的极限值。这就要涉及到数学上实无穷和潜无穷的哲学争论了。

实无穷认为无穷是可以达到的，当阿基里斯追上乌龟时便是这种情况，这时无穷级数的和等于它的极限值。潜无穷认为无穷是一个过程，不是实在的东西。在这个观点下，无穷级数求和只能不断逼近它的极限，而不是等于它。这个观点导致阿基里斯永远陷在追赶乌龟的过程中。

毕达哥拉斯学派主张1>0.9999... 是赞成潜无穷观点。用实无穷虽然可以解释许多结果，但是它的使用产生出很多问题，很多人并不支持。在他以后的亚里士多德倾向潜无穷但在阿基里斯与乌龟的问题上含糊其辞，这时大家对无穷都很头疼，以后的数学家从欧几里德开始，都尽量回避无穷的问题，专注于谈得清的有限问题。一直到牛顿和莱布尼茨的微积分，又采用了实无穷的概念，将导数表示为两个无穷小之比，积分为许多无穷小的加权和，得出丰硕的成果。实无穷的思想回潮和滥用，又产生了很多问题和混乱，以致贝克莱把这些矛盾组合成悖论来反对微积分，导致数学第二次危机。到了魏尔斯特拉斯，他驱逐了实无穷，由潜无穷的概念发展出严谨的极限概念，重铸分析的基础。百多年后，康托尔又在集合论中将实无穷请回来。在20世纪60年 代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，从而建立了非标准分析。数学的直觉主义学派如今仍然反对实无穷。以致希尔伯特感叹说：“无穷是一个永恒的谜！”

芝诺的阿基里斯与乌龟的悖论的破解，经过两千多年兜了一圈又回到实无穷与潜无穷的争论中去。今日人们实用主义地在不同场合分别使用这两种概念。这当然是一种 未澄清的矛盾状态。到现在，中外数学，物理和哲学期刊里还不时有着讨论实无穷，潜无穷及芝诺悖论的论文。争论仍然没有结束。

【后记】（写于15个评论，点击1100时）

很高兴见到许多跟帖，可惜到现在为止几乎所有的跟帖都没有认真跟随文中的逻辑而急于给出自己的反应。这个悖论的重点是阿基里斯无法在逻辑上超越乌龟而不是在 实际上。这也许因为“芝诺的阿基里斯与乌龟的悖论”太有名了，书刊里充满了许多浅薄的答案。或者大家基于教科书里关于极限的知识。几千年来不少数学家都思 考过这个问题，带来不同程度的进展，大家也许从来没有想过初等微积分教科书中实无穷假设的理由和困境。而各种文库、百科、科普给出的都是不同程度似是而非 的答案。这个有点深度的科普目的是引导大家思考这些困扰着数学大师和哲人难题答案的历史变迁和现状。实无穷和潜无穷是哲学上的观念，在数学上实无穷认为它 是个具体的数学个体，如无穷集合，无理数等。潜无穷不愿意把涉及到无穷极限或总体当作是一个数学实体，只承认它是个有限不断逼近的过程。

关于这个悖论本质的认真讨论，较好中文的论文我只找到南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所杜国平的文章，有兴趣可以参考。注意这是介绍历史和哲学的论文，不是数学的，其定义和推理也是非数学的。

【1】杜国平 “潜无穷、实无穷探析”《自然辩证法通讯》2009年第3期 http://wenku.baidu.com/view/7634344be45c3b3567ec8b58.html

【后记】（写于26个评论，点击1828时）

看了后续的评论，这次深入了许多。我想再说明几点：芝诺有许多悖论涉及到无穷、分割、速度和运动等概念，它们之间有些是关联的，但不全是一样。几千年来人们 思考这些悖论的进步部分地解答了一方面的困惑，但有些悖论，比如这一个，仍然不断被征服过后又屹立在那儿。这一个悖论的要点不在时间、空间、可分性方面， 虽然这也是一些人的困惑。但那在他的其他悖论里更突出，其结果带来了物理学上的进步。而这个悖论的矛盾在于纯粹数学观念上：收敛的级数是不是和它的极限同 一回事？如果是，为什么？这在最初毕达哥拉斯学派主张1>0.9999... 就争论过。承认是，又有许多新的矛盾。承认不是，又无法跨越这个间隙。所以教科书就含糊了，以免让学生困惑。现代数学和科学的基础并不像局外人想象的那样 坚固，但科学是在不断思考和解决矛盾中发展。从事科学的人多用头脑来思索逻辑比起从书本中翻出答案更有益于做研究。

关于芝诺的许多悖论，斯坦福百科比国内许多刊物更专业一点。注意，他只是把矛盾解释清楚，并没有雄心给出答案。http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/

紫荆棘鸟

作者：特有理        
对这个问题，我曾经写过一篇小文，忘了发到哪了。这个问题有两个思路：一是哲学思维；一是科学思维。哲学思维的关键点在于：过程中的“未来”是否可以是无穷小？从逻辑角度，如果未来是无穷小，那么未来就是不存在的。如果未来不是无穷小，未来就不是无限可分的。在这个角度，《芝诺悖论》的出现就在于违背了这种逻辑关系。从数学角度，关键就在于时间的分割。这就涉及到宇宙的一个本质：时间或是空间是否无限可分？《芝诺悖论》的出现，在于默认时间是无限可分的。而如果认为时间不是无限可分的，那么就会有这样一个结论：慢速的空间运动相对于快速的空间运动，总能找到足够小的时间区域，在这个区域中慢速物体是静止的。那么，从《芝诺悖论》我们可以得到这样一个结论：《芝诺悖论》从逻辑上证明宇宙的时、空不是无限可分的。


作者：马甲
可以编出一个不收敛的例子如下：乌龟领先阿基里斯1尺，当阿基里斯赶上这1尺时，乌龟又爬了1/2尺，阿基里斯赶上这1/2尺时，乌 龟又爬了1/3尺，阿基里斯赶上这1/n尺时，乌龟又爬了1/(n+1)尺，如此等等。阿基里斯确实比乌龟快，它们的距离每次都在缩短，但确实永远也追不 上。这个赋值的故事是调和级数求和，结果是无穷大。这时芝诺的推理与事实相符了，悖论成了佯谬，要纠正的是常识而不是推理。我们一般不再考虑这种情况了， 专注于有争议的收敛情况的解释。
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这不应该是什么佯谬吧。根据这一段的说法，阿基里斯为了不追上乌龟而不断地根据自己与乌龟的距离差和速度差来调整自己的速度并且缩小自己的尺寸以便达到永远追不上乌龟的目的。


作者：紫荆棘鸟 回复 特有理
老特，我好像没看明白你想说什么。这就是一个纯粹的数学问题，具体而言，还是涉及到对无穷大的理解，和科学思维没什么关联吧。而且最后一句，“《芝诺悖论》从逻辑上证明宇宙的时、空不是无限可分的”，我也没看明白如何证明出来的。没错，如果涉及到速度（从而时间空间），芝诺悖论是得假设时间空间需要连续，但这里并不是讨论物理世界的时间和空间是不是真的连续，而且这和老应（以及芝诺诡辩）的文章无关。
等下具体说说几句。现在看谁能说到点子上，呵呵。谢谢参与。


作者：紫荆棘鸟 回复 马甲
老马，我想应行仁之所以称这种情形是佯谬，是based on“阿奇里斯永远追不上乌龟”这个悖论而言的，因为常识告诉我们阿奇里斯能很快追上乌龟，但在这种 ad hoc的情形下，阿奇里斯确实追不上乌龟，因为级数 $Sigma 1/n$ (调和级数）并不收敛，而是发散的，大约和 log(n) 差不多。


作者：芹泥
顶紫儿MM解析芝诺。 我也曾试图介绍芝诺，在古希腊系列的第一篇《古希腊的诡辩术》里。 先顶，回头再来细读。我放一段罗素对芝诺悖论的评论。 罗素曾说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了．死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后，这些“诡辩”才得以正名，…。”


作者：紫荆棘鸟
这种对无穷大理解的分歧，实际上影响着数学本身基础是不是牢固这样的问题。理工学生以及不少文科生都学过极限，学过极限的人在回答“1是否等于0.9999……“时都会回答 yes，但果真是这么回事吗？至少直觉主义流派的数学家是不同意的，而是认为 1 > 0.9999……
学过极限的人都知道，现在之所以认为1=0.9999……，是因为级数S1 = 0.9, S2=0.99, S3=0.999,....是收敛到1的。这里收敛是什么意思呢？用标准的数学语言描述，就是无论你给个任意小的正数 $epsilon$, 我都能找到足够大的 N，当 n > N 时，1 和 Sn 之间的差值就会小于你给的任何足够小的数 $epsilon$
没觉得这个描述非常 verbose 么？而且更关键的是，这个收敛的定义依赖有限大的数 N（尽管这个数是任意的，但是它却是有限的），而级数本身却是无穷的。
我们敢说自己理解了无穷大吗？没错，对无穷集合的基数，我们有伯恩斯坦定理，但无论是阿列夫几，那只是对无穷大一种很粗略的等级划分。


作者：嘎拉哈
芝诺悖论的真正哲学意义，不在于它是否已经被解决。而在于解决的方法。芝诺悖论提醒人们，几乎世界上所有的“真悖论”，都指出同了一个事实。即一切真理的基础，都具有公理的性质。一旦离开了了公理，即便是演绎逻辑，也不再是严丝合缝的。或者说，演绎逻辑也是一个不可能完成的任务。以哥德巴赫猜想为例，最终的结果将会是，人类要么能够依据现有的数学公理体系证明它，要么将它自身提升为公理。除此之外，唯一剩下的路子就是穷举。例如，用计算机验证哥氏猜想，就相当于芝诺穷举。
数学上，之诺悖论指出了实数的无限密集性。即，任何两个可辨别的实数之间，都还有无穷多个有待辨别的实数。类似地，任何一个可触及到的大素数之后，还有无穷多个有待触及的更大素数。如果用芝诺穷尽的路子，那么直到累到吐血之前，人类可能最后会说”得了别再劳神了，累死俺了，哥氏猜想基本上就是真理了，咱们把它作为公理来接受吧，大家同意吗？“
从哲学上说，只要无法排除公理的主观性，那么公理本身就是一种信仰。数学其实也是一种宗教。不仅宗教与科学无法分家，而且经验主义同理性主义最终也是分不开的。这就是哥德尔的厉害所在。


作者：嘎拉哈 回复 紫荆棘鸟
【这种对无穷大理解的分歧，实际上影响着数学本身基础是不是牢固这样的问题。理工学生以及不少文科生都学过极限，学过极限的人在回答“1是否等于0.9999……“时都会回答 yes，但果真是这么回事吗？至少直觉主义流派的数学家是不同意的，而是认为 1 > 0.9999……】
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数学的牢固性，在于公理的牢固性。而不在于１到底是否真的等于０。９９９９。delta－epsilon 逻辑体系，看似严丝合缝，其实它的背后，一定还存在着一个想当然的“不言自明”。这就是数学的公理性本质。科学体系的本质，是形而上学的理性直觉内核，支撑着经验主义的肉身，并且两者经常打架。


作者：嘎拉哈
【数学上，之诺悖论指出了实数的无限密集性。即，任何两个可辨别的实数之间，都还有无穷多个有待辨别的实数。类似地，任何一个可触及到的大素数之后，还有无穷多个有待触及的更大素数。如果用芝诺穷尽的路子，那么直到累到吐血之前，人类可能最后会说”得了别再劳神了，累死俺了，哥氏猜想基本上就是真理了，咱们把它作为公理来接受吧，大家同意吗？“】
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世间一切争论，最终都可以归结为理性主义和经验主义之争。数学也是一样。毕达哥拉斯，柏拉图等都属于理性主义。具体说，否定经验主义的理性主义是一种洁癖。他们认为数学才是代表了宇宙真理的“非杂乱无章”，“漂漂亮亮”，”整整齐齐“之完美本性。而依据感性常识，最多可以获得近似的，带有杂质的“真理。”承认１＝０。９９９９，不顾及两者的差别，那么这样的真理就是有杂质的。
经验主义则是外一个极端。他们认为数学才是物理的高度近似。而绝对完美的宇宙真理很可能是不存在的，上帝也有感冒流鼻涕的时候。经验主义的这一思想，被卡尔萨根总结为一句话，“宇宙并不是为了迎合生命而产生的。”换言之，生命是宇宙的一种极端偶然现象，人类社会更不是理所当然的。即便完美真理真的存在，它也只能是物理的，近似的，并不一定是数学的，解析的。经验主义的另外一派是以蔡廷和图灵为代表的所谓“数字理性主义”。他们的思想代表了理性主义和经验主义的某种整合趋势。他们认为，世界根本就不需要实数。例如，仅仅用二进制的大约六十位，就可以完成全部的物理学的定量描述任务。


作者：嘎拉哈
公孙龙的白马非马，跟芝诺悖论的意义不相上下。公孙龙被几个圣人一杆子打倒之后，就再也没能爬起来。因而科学从此便与中国人无缘了。首先要知道，无论是公孙龙，还是芝诺，他们的结论都是臆测，而非演绎逻辑的直接推导结果。他们的意义，不在于结论本身对与错，而在于认识到了演绎逻辑本身的严格性。
由严格逻辑所导致的结果，即便是错的，那也要比算命的瞎猫碰上死耗子，更有积极意义。纪晓岚和严复都把中国没能产生科学的原因，归结为中国人不懂归纳逻辑。其实大错特错。情况刚好相反。中国人的思维模式，整体上说刚好就是归纳型的。而演绎思维，才是中国人最缺乏的。
西方人的演绎逻辑可以大致分为两种，基于公理的演绎和基于穷举的演绎。前者导致理性主义，后者导致经验主义。正因为穷举演绎是一种绝对严格的演绎，因而才会让人们苦苦思考，百思不得其解。相比之下，公理演绎的严格性，取决于公理本身的严格性。虽然说穷举法是严格的，但是很多情况下却完不成任务。基于公理的演绎，相当于一个渔网，搞得好，可以把鱼一网打尽，搞不好，一条鱼也打不到。
相比之下，中国人的形而上思维是一种归纳思维。归纳逻辑是一种非严格逻辑，就像天气预报，它总有失败的例子。这就是为什么中国人喜欢算命和赌博的一个原因。公孙龙的下场是自然的。


作者：废而不赖 回复 嘎拉哈
芝诺问题就象一个堡垒，堵在人类思想发展史道路上，多少人以为攻克了它，越过了它，但回过头看，它还在那儿，包括爱因斯坦在内现代思想大家都在攻克这个堡垒过程中得到很大的启发。它涉及的两大问题都是人类智慧面对的本质问题。一是无限，二是时空。莱布尼茨和牛顿只不过用数学技巧处巧妙替换掉无限问题，但它依旧让人类最智慧的大脑-康托尔崩溃。爱因斯坦用广义相对论把时空包成一个饺子，但他花了毕生的时间还是没有把时空的几大特征统一起来。作为一个老男人，每念至此，顿觉灵台空荡，无话可说。


作者：紫荆棘鸟
【老嘎没抓到重点啊，这段完全可以去掉（如果纠结于佯谬这个词用得对不对的话），而不会影响什么。悖论的价值在于，不在于它是不是解决了（例如用现有的极限理论，就可以宣称它被解决了），而是要看在“最坏”的情形下，6它是不是还能challenge自己。】 ---- 我的那一段，只是为了指出应行仁的错误而已。而且这个错误，还远不止仅仅用　１,1/2,1/3,1/4。。。错误地取代了１，1/2, 1/4,1/8。。。事实上，只要阿基里斯的速度Va　大于乌龟的速度，Vt,　那么就不存在不收敛的问题。
还是觉得嘎子误读了老应。老应数学基础不错的，知道勒贝格测度，知道用泛函去定义 Dirac delta-函数，怎么会犯“用　１,1/2,1/3,1/4。。。错误地取代了１，1/2, 1/4,1/8”这样的错误？再说你这里的论断“只要阿基里斯的速度Va　大于乌龟的速度，Vt,　那么就不存在不收敛的问题”本身就不对，除非你说他们的速度是恒定的，否则调和级数“1，1/2，1/3，……”就足以保证阿奇里斯的速度永远大于乌龟的速度但是阿奇里斯永远追不上乌龟。
老应的行文结构是这样的：
1)大家都知道算极限，从大家所熟知的算极限这个角度而言，芝诺悖论是解决了（其实解决办法很多，例如我文章打头所说的，假设阿奇里斯速度是乌龟的十倍，你让他们跑200米的距离，阿奇里斯所用时间更短，这当然就“阿奇里斯能否赶上乌龟”进行了否决，当然也算解决。但就解决方法而言，算极限更能驳斥芝诺，因为它能明确给出一个距离的界定值，超过这个值，阿奇里斯就能赶上乌龟）；
2)悖论的价值，不在于按照你的逻辑和推理声称解决了（比如说，很多小学生都能象我文章打头所说的那样，声称解决了。事实上那也不算错），而是在“最不利的情形”你能找出应对的办法。许多新思想就是这么来的。这也是老应这篇文章的中心思想。否则如果大家抛出极限说解决了，或者说因为空间可能存在个普朗克尺度去驳斥芝诺的前提就存问题，那就没多大意思。
3）具体地，老应这里给出调和级数做例子，无非是说，在保证阿奇里斯跑得比乌龟快的前提下，你可以构造出不同的数据，可以使得阿奇里斯可以赶上乌龟，也可以使得他没法赶上乌龟，但这些都不是重点。重点是什么？重点就是对无穷大的理解，这才是分歧。


作者：紫荆棘鸟 回复 特有理
哈哈，单利复利的讨论是傻瓜级别的讨论，其实根本不存在讨论，充其量是试图说服说房贷模型是单利的笨笨而已，因为房贷是单利还是复利，是个 yes/no 的东西，结论是准确无误的。就这个问题而言，我也没有结论呀。原文作者老应也没有。如果有，估计也不是老应这种级别的人能解决的，我就更不成，一万个紫鸟也不行。这触及数学的foundation，比改改公理推导出一套数学理论（比如说楼下谁回顾非欧几何的历史）可fundamental多了。


作者：紫荆棘鸟
还有一种观点，就是以文王，特有里，透视镜等同学为代表的物理模型论，也就是说将芝诺悖论当成一个物理问题去反驳，最主要的出发点就是空间（可能）存在个普朗克尺度，这可能和批判庄子的“一尺之缍，日取其半，万世不竭”差不多。当然这未尝不可，而且，假设咱们并不知道有个普朗克尺度，通过批判芝诺或者庄子而迸出个空间并非连续的这样一种哲学思想，那当然很不错，但这显然并没有反击芝诺诡辩，因为之诺诡辩很容易抽象成一个纯粹的数学问题而无需去讨论空间是不是连续的这样一个物理/哲学问题。


作者：马甲 回复 紫荆棘鸟
对这一段的理解能离开速度的概念吗？离开了速度，这里就根本不存在什么悖论或佯谬之说。最简单的例子，阿基里斯停下来，他就永远追不上乌龟了，用不着那么多的麻烦。


作者：紫荆棘鸟 回复 马甲
就芝诺悖论这个具体例子的表述而言，是离不开速度（从而空间，etc），但这并非原文要讨论的呀。原文并没有任何去 defend 芝诺诡辩是对的这个意思，应博士之所以说“芝诺悖论并没有解决”，也没有说，目前通过算极限这种反驳芝诺诡辩的的方式不对，而是说，咱们的思考不应该局限于“喂，我能用算极限的方式证明芝诺在诡辩，所以可以句号了”，而是应该走出这一步。如果光是满足于证明芝诺在诡辩（阿奇里斯赶不上乌龟），那实在是非常简单的一件事情。


作者：马甲 回复 紫荆棘鸟
问题是你给出的那个不收敛极限与悖论或佯谬都没有关系，因为那是个变速度的极限，如果允许变速度，不论阿基里斯还是刘易斯都可以永远赶不上乌龟，最简单的一个解就是V=0,不需要什么极限。另外，芝诺悖论的价值当然是不容否认的，但芝诺悖论所具有的价值并非悖论的唯一价值。很多悖论本身就是真的，而且也具有很大的价值。芝诺有很多悖论，你这里讨论的一个是假悖论。这不是说它没有价值，它仍然很有价值，但这并不等于说它不是假悖论。


作者：紫荆棘鸟 回复 马甲
对，但那是老应给的，不是我给的。那个例子确实是多余的，对他的中心思想没什么帮助。嘎子也有同样的困惑（根据他的留言），所以一开始我就说那个例子可以去掉。老应为什么给那样一个例子，我也想不透（不过即使给了也没关系），我猜他的愿意是，无论如何构造那种序列（是1/2，1/4，1/8……这种收敛的，还是1/2，1/3，1/4……这种发散的）都不是他这里所讨论的，他所讨论的只有一个：怎么理解无穷大。

紫荆棘鸟

作者：嘎拉哈
【对，但那是老应给的，不是我给的。那个例子确实是多余的，对他的中心思想没什么帮助。嘎子也有同样的困惑（根据他的留言），所以一开始我就说那个例子可以去掉。老应为什么给那样一个例子，我也想不透（不过即使给了也没关系），我猜他的愿意是，无论如何构造那种序列（是1/2，1/4，1/8……这种收敛的，还是1/2，1/3，1/4……这种发散的）都不是他这里所讨论的，他所讨论的只有一个：怎么理解无穷大。】
------- 说实话，这篇文章一开始，我只是扫了一眼。我对中国理科大学数学系培养出来的学生，是带有很强的偏见的。尤其是，他们普遍接受数学抽象，但反对物理直觉。导致永远的似懂非懂。另外，他们普遍喜欢用辩证法的观点理解无穷大。例如，将无穷级数的收敛现象，解释为实无穷和潜无穷这一对矛盾双方的彼此消长。在这样的思维定势之下，他们普遍喜欢追问诸如“无穷问题真的解决了吗？”这类问题。我记得大学刚毕业时，经常听到几个数学系的家伙争论delta-epsilon 和极限的“奥妙”，我的耳朵已经起了糨子。
事实上，数学哲学，按照经验主义和理性主义划分，要比实无穷和潜无穷划分更准确。所以，我不认为作者（也包括杜国平）真的把握了无穷的哲学内涵。


作者：紫荆棘鸟 回复 透R
哈哈，抱歉，把你归入“物理模型”论了。原文作者在文章末尾的附注对“物理模型论”给了说明，我楼下也说了一下，差不多是同一意思。这里就不重复了。
这里也 argue 一下老透的这个“直觉”算式，相信大部分人都见过（我自然也见过）：
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ……
2S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16　＋　……　
２S＝　１　＋　S，　So　S＝１.
实际上这并不能让直觉主义数学家闭嘴，因为你将阿列夫０想象成可以reachable的一个“数”，你便得不出 2S=1+S这一步。这和直觉主义，毕达哥拉斯派认为 1>0.999……是一回事。


作者：嘎拉哈
转一个哥德尔讲哲学的视频。这才叫真正的数学哲学。
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/cG7MyZtGSB0" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
视频中的那张画，柏拉图手指天空，亚里士多德手按着着大地，分别代表了理性主义和经验主义。一直到今天，哲学争论的焦点仍然是如此。   
   
   
作者：紫荆棘鸟
继续胡掰，看无穷大。先给个热身的实例。假设现在是子夜23时59分59秒，差一秒就是第二天零时。假设时间是连续的，无所不能的耶和华来到咱们身边抛硬币。耶和华准备这样抛硬币：
离0时1秒时，抛硬币使得硬币朝上；
离0时1/2秒时，抛硬币使得硬币朝下；
离0时1/4秒时，抛硬币使得硬币朝上；
离0时1/8秒时，抛硬币使得硬币朝下；……
问题：因为0时总会来到的，那么当0时来到时，硬币是朝上还是朝下？这还是最简单的情形，因为结果无非是朝上或者朝下这样两个离散值。还可以“构造”出更复杂的scenario，使得结果是连续值，更加不可思议。
当然，以现在的“极限”观点来看，这个case很trivial，因为时间序列1/2，1/4，1/8……无非是提供一种count机制，和1，2，3，4，5，……是一回事，但其函数mapping取值{up, down}却是个振荡的，并不“收敛”，所以此问题无解。但我们为什么非得这么粗暴地认为此问题无解呢？我们之所以这么粗暴，是因为我们能力有限，无法数到自然数集合的尽头。但兴许耶和华可以呢，对不对？
如果考察极限的定义，例如我们考虑离散空间的收敛，用“epsilon-N"的语言，对序列 S=1/2+1/4+1/8+1/16+……，我们之所以能”证明“它收敛于1，是因为对任何事先给定的任何正实数 epsilon，我们总能找到足够大的自然数 N，当n大于N时，|Sn-1| < epsilon.看到问题了吗？收敛的这个定义的本质，是因为我们不知如何handle无穷大，我们必须依赖一个有限的自然数N。


作者：嘎拉哈 回复 紫荆棘鸟
【当然，以现在的“极限”观点来看，这个case很trivial，因为时间序列1/2，1/4，1/8……无非是提供一种count机制，和1，2，3，4，5，……是一回事，但其函数mapping取值{up, down}却是个振荡的，并不“收敛”，所以此问题无解。但我们为什么非得这么粗暴地认为此问题无解呢？我们之所以这么粗暴，是因为我们能力有限，无法数到自然数集合的尽头。但兴许耶和华可以呢，对不对？】
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对。就是这么回事。另外，认识到无穷也有大小（阶的概念）这绝对是数学的一大功劳。在耶和华那里，数无穷，就跟人类数有限数一样简单。所有的悖论都是不存在的。但是对于人类来说，我们现在只知道无穷可以吃无穷。康托尔的数列构建方法，导致了理发师悖论在无限集合领域的一个“无穷版”。即无法将集合定义为自身的一个元素。这是因为，在无限的世界里，人类还没有学会数数。


作者：紫荆棘鸟
再看实数。这个例子是我刚才边码帖边胡思乱想而来的，看有没有道理（或者看我能不能表述得清楚）。我们来考察一个总所周知的statement：实数和数轴上的点是1-1对应的。我们通常认为这个statement没问题，无非是因为以下因素：数轴上的点构成的集合是良序的，和实数（as a 度量空间）是一样的；如果数轴上的点代表一个数，它应该是实数，因为实数是完备的……等。能smell出sth “abnormal”吗？至少，如果你假设实数和数轴能一一对应，那么你就自动假设了数轴上只有阿列夫1这么多的点，不能再多了。但“万一”数轴上有更多的点呢？我们来看看神马是实数。一个实数无非是一个收敛的有理数柯西序列，对不对。看到了么，这里有两个名词：1）有理数序列；2）收敛。收敛的必要性是因为它能保证我们能“精确”到一个特定的数，但实数能用有理数序列来描述，本质是啥？本质无非就是有理数的幂集就是实数集。现在问题来了，因为人类的无能，我们只会用“可数”的方式去描述一个序列，根据伯恩斯坦定理，我们能理解的数只能到有理数的可数序列这个level，也就是实数。但耶和华可能就完全不一样，因为他老人家神通广大。他老人家在给定的度量空间里知道如何去描述不可数的“序列”（暂且借用这个名词），假设称为“耶和华不可数列”。这样，耶和华哪怕只从有理数出发，用有理数去构造耶和华不可数列，那么收敛的耶和华不可数列所对应的“数”，就一定比实数多。


作者：嘎拉哈 回复 嘎拉哈
直觉思维对数学的帮助其实是无比巨大的。例如，对于柯西意义下的收敛概念（即delta-epsilon, 或者叫潜无穷的本质）我们可以换一个角度来看。假如有个序列，他的每一项，都相当于在　１。５５５５的后面在添加一个５。之所以柯西会想到用delta-epsilon 收敛准则，不仅仅是因为柯西看到了这样的序列存在着终点线（极限值）。更关键的，是他同时看到了，终点线本身也有无穷个！将任何一个５换成６，都是重点线之一。例如，１。６，１。５６，１。５５６。。。。。。只有将第无限位的那个５换成６，才是最小的终点线。因此，穷举逻辑和公理逻辑是等同的，因而也不存在“无穷的问题解决了吗？”这类问题。

   
作者：紫荆棘鸟
再说根据“1-1对应”的法则下的几何学，也就是拓扑，其结果也往往也给人不可思议的感觉。举个很简单的例子，一个球面是没法和一个复平面同胚的，一个球面等价于两个平面：球面/复平面的商群=Z2。但你如果在球面上挖去一个点的话，一个点对一个球面，不算什么吧？但挖去一个点后，这个“球面”就和平面是一回事了。不服不行，呵呵。
   
   
作者：老几
也来凑个热闹。如果不用现代人的知识和思维方式，从芝诺作为一个巴门尼德的忠实信徒的角度评价的话，芝诺的这些悖论的证明方法和目的就只剩下一个。不从巴门尼德的本体论入手，很难搞清楚。


作者：嘎拉哈
【芝诺的阿基里斯与乌龟的悖论的破解，经过两千多年兜了一圈又回到实无穷与潜无穷的争论中去。今日人们实用主义地在不同场合分别使用这两种概念。这当然是一种 未澄清的矛盾状态。到现在，中外数学，物理和哲学期刊里还不时有着讨论实无穷，潜无穷及芝诺悖论的论文。争论仍然没有结束。】
------ 说实话，不是我非鸡蛋里挑骨头。作为数学科普，老应的这篇读起来还算可以。但是如果做为数学哲学，感觉这篇有太强的”中国味儿“，具体说，就是辩证法味。我主张在大学非哲学专业课程中立即废除自然辩证法。中国理工科大学，将自然辩证法作为哲学副科的首选课是一个错误。中国人对科学的理解，仍然没有逃离“理论指导实践，哲学指导科学”的思维定势。即便用西方形而上学的标准，中国版的自然辩证法也是不合格的。虽然当代科学中有形而上学的位置，但是却没有辩证法的位置。
----- 对于科学研究目的来说，自然辩证法（尤其是中国版）的问题有三个。１。对唯心主义的绝对拒绝，使得思想创新成为不可能。理性主义哲学在西方科学研究和思考中，仍然占有重要位置。基于理性主义的形而上学并不完全否定唯心主义。基于辩证法的形而上学，并非是真正意义上的形而上学。２。认为辩证逻辑也是科学逻辑的一种是一个重大误解。中国人喜欢用“矛盾双方”这类两条路线斗争的路子解读科学问题，感觉很搞笑。３。导致急功近利的实用主义。例如，中国人总是关心最终结果，喜欢问诸如“问题真的解决了吗？”这类问题。这样文章读起来让人索然无味。


作者：嘎拉哈 回复 紫荆棘鸟
【再看实数。这个例子是我刚才边码帖边胡思乱想而来的，看有没有道理（或者看我能不能表述得清楚）。我们来考察一个总所周知的statement：实数和数轴上的点是1-1对应的。我们通常认为这个statement没问题，无非是因为以下因素：数轴上的点构成的集合是良序的，和实数（as a 度量空间）是一样的；如果数轴上的点代表一个数，它应该是实数，因为实数是完备的……等。能smell出sth “abnormal”吗？至少，如果你假设实数和数轴能一一对应，那么你就自动假设了数轴上只有阿列夫1这么多的点，不能再多了。但“万一”数轴上有更多的点呢？我们来看看神马是实数。一个实数无非是一个收敛的有理数柯西序列，对不对。看到了么，这里有两个名词：1）有理数序列；2）收敛。收敛的必要性是因为它能保证我们能“精确”到一个特定的数，但实数能用有理数序列来描述，本质是啥？本质无非就是有理数的幂集就是实数集。现在问题来了，因为人类的无能，我们只会用“可数”的方式去描述一个序列，根据伯恩斯坦定理，我们能理解的数只能到有理数的可数序列这个level，也就是实数。但耶和华可能就完全不一样，因为他老人家神通广大。他老人家在给定的度量空间里知道如何去描述不可数的“序列”（暂且借用这个名词），假设称为“耶和华不可数列”。这样，耶和华哪怕只从有理数出发，用有理数去构造耶和华不可数列，那么收敛的耶和华不可数列所对应的“数”，就一定比实数多。】
－－－－　紫鸟的这段，基本是就是代表了人类目前对无穷的全部认知。至于“但万一数轴上有更多的点呢？”这样的问题，按照康托尔的意思，这是不可能的。因为按照康托尔的本意，它是将一切大于阿烈夫１的无穷基预留给上帝的。上帝不仅会数阿烈夫０，阿烈夫１，阿烈夫２，阿烈夫３。。。。而且还会数无穷小数，例如阿烈夫０.５。但是对于人类来说，就算康托尔，也只能数到０和１，并且知道１比0 大约要大　２^０　倍。０即包括整数集在内的全部可列集的大小，１即实数集的大小。对于０，１之间的东西，按照连续统假设，是不可能存在的。但是在上帝那里，无穷小数的存在应当不是个问题。


作者：嘎拉哈
现在知道希尔伯特第一问题有多么重要了吧。您如果能找到一个反例来否定连续统假设，这个意义就相当于人类发现了无穷小数。据说早期英国殖民者刚到非洲时，他们发现原始部落的人的数数能力，最多可以数到三。小数更不用提了。作为类比，在无穷的世界里，人类目前可以勉强说，我们会数０和１了。刚学了会数０和１，竟然就能发现小数，人类也推能耐了，难道反了不成？所以，希尔伯特第一问题是不可能被证伪的。哥德尔已经证明了这一点。


作者：嘎拉哈
【耶和华哪怕只从有理数出发，用有理数去构造耶和华不可数列，那么收敛的耶和华不可数列所对应的“数”，就一定比实数多。】
----- 这个思路很好。显然比康托尔的胆子还要大。康托尔后来基本上完全放弃了群找大于阿列夫１的无穷集的想法，只关心如何证明他的连续统假设。即阿列夫１的不可切割性。俺照我个人的理解，实数集已经就是人类的理解能力所能理解的“数”的最密实的集合了。换句话说，基数大于实数集的集合，假如真的存在，那么它的元素不可能是由通常意义上的“数”或者“点”组成。需要重新定义某种“广义数”才行。每一个“广义数”可能都是一个“小连续统”。


作者：紫荆棘鸟 回复 嘎拉哈
对的，看来你知道我说什么了，尽管我没法表述清楚（用现成的数学符号更加不能）。用“耶和华列”构造出来的数，显然是实数集的幂集，只是没法用通常的序列表达而已。这种东西估计即使在纯数学里也没什么实用价值，但作为一种概念，作为对无穷的理解，却是未尝不可。
康托连续统假设其实更像一个公理，不能证明也不能证伪。但阿列夫几的根源是1-1对应，主观地选择1-1对应这个概念对无穷大分个级别，大约只能做到这个程度了，不能做到更细致更精确，但阿列夫几其实是非常粗略的。
现在的数学概念，大约能帮大家理解到阿列夫3. 所有实数空间上的函数集合就是阿列夫2，所有泛函的集合就是阿列夫3，阿列夫4以上的东西，暂时就犯不着去招惹。


作者：嘎拉哈
【与一贯的诸如“道可道非常道”这类形而上主观断言相比，公孙龙的白马非马论证，给人一种“中国人终于开始讲逻辑了”了的感觉。然而，用客观逻辑代替主观想象，这也正是科学的萌芽。】
芝诺的思考方式，同公孙龙是有些类似的。很多中国人仍然坚信，只要形式逻辑的前提是正确的，那么就一定可以得出正确的结果。反之，如果结果出了问题，那么前提一定是有问题的。然而对于芝诺悖论，这个说法却是不成立的。
芝诺的问题即非是因为前提错，也不是因为演绎过程错，而是最后一步的归纳逻辑的错。当芝诺思考赛跑的每一步时（例如１＋1/2+1/4+1/8...),他是在使用严格的演绎逻辑。但是由于步数太多，这样的演绎无法完成，他不得不使用归纳逻辑来做出最后的一步跳跃，以得出结果。然而，仅仅这一步就出了问题。我甚至认为归纳思维是理性的敌人。归纳逻辑是根据已知数据得出一般结果。当数据有限时，它便成为统计推断的预测。当完全没有数据时，它就成为算命。
以芝诺为例，他如果真的坐下来算上几步，他会发现很多吃惊的“线索”。例如，他会发现，虽然需要无限的追赶阶段，但是每一步所用时间却是越来越趋向于“瞬间完成”。类似的，如果芝诺能够亲自做几步总距离的加法运算，他会发现，新一项的增加，大多都是发生在旧一项的最后一位小数位上，而且，任何一个小数位，都只能获得有限次的进位，然后永久停下来，再无进位的机会。很可惜，收敛级数的这个“有限次进位”特征，却被后来的柯西所发现，发展为著名柯西收敛准则。


作者：紫荆棘鸟
其实说数学的本质算一种宗教，是没错的，当然宗教这个措辞不是那么准确，但作为对数学的主观唯心色彩的强调，并不为过。其实数学的主观唯心色彩是不容置疑的。不光数学如此（它本身只接受逻辑的检验，并不接受自然界的检验），就算必须接受大自然检验的科学例如物理，主观唯心色彩也越来越浓厚，扮演着越来越重的作用。这是因为，虽然科学描述的对象是客观的，但如何描述，描述的方式却是主观的，例如百年前大数学家希尔伯特提倡的公理化物理，就是一种基于主观理性主义的提议。现代物流的主流，主观色彩的描述太司空见惯了，一个例子就是爱因斯坦的广义相对论，比如说时空弯曲。所谓的时空弯曲，其实是一种数学描述下的“弯曲”，你不用广义相对论描述引力，用别的方式描述引力，这种弯曲就不存在。而且广义相对论本质只是一种描述，并未涉及物理的本质。要理解这些，光看时间简史之类的科普读物，学了几门物理课程，是不行的。
比如象前段时间大家热议的引力波，在海量的文章中，引力波的根源被解读成广义相对论的结果，其实根本就不是。引力波的根源不是广义相对论，而是因为狭义相对论（光速有限）。广义相对论只是个描述框架，有没有它，引力波都会存在，只是广义相对论本身太 powerful，不依赖这种主观色彩的描述，爱因斯坦也预言不了引力波。


作者：嘎拉哈
[其实说数学的本质算一种宗教，是没错的，当然宗教这个措辞不是那么准确，但作为对数学的主观唯心色彩的强调，并不为过。其实数学的主观唯心色彩是不容置疑的。不光数学如此（它本身只接受逻辑的检验，并不接受自然界的检验），就算必须接受大自然检验的科学例如物理，主观唯心色彩也越来越浓厚，扮演着越来越重的作用。这是因为，虽然科学描述的对象是客观的，但如何描述，描述的方式却是主观的，例如百年前大数学家希尔伯特提倡的公理化物理，就是一种基于主观理性主义的提议。]
------ 康托尔坚信数学是上帝的语言。经验主义同理性主义在关于“什么是数学的本质”这一问题上的分歧，可以归结发明和发现的区别。经验主义认为数学是人类的发明。而理性主义认为数学是人类的发现。无论是发明还是发现，数学要么是主观意识的产物，要么是先验意识的产物。
虽然经验主义的数学观很有其道理，例如数学最多也只是物理世界的近似描述。并却经常是物理问题带动着新数学理论的产生和发展。但是另一方面，理性主义的数学观也不乏佐证。例如，就连经验主义者，也是把逻辑看成是理所当然的。对于为什么物理世界是如此忠实地遵守着数学逻辑？或者说，为什么数学和它的逻辑系统会如此有效？例如，世界上所有的花的花瓣数目，都是费波那契数。像这类无法解释的巧合实在是太多了。以至于让人们不由自主地发出“上帝一定是个数学家”的惊叹。


作者：嘎拉哈
康托尔的确是沿着一一对应的思路来思考他的集合论的。例如，从直觉上，有理数集显然要比整数集”密无穷倍“，但却是同势的。这个结论的确令俺吃惊。说明映射的路子是正确的。理解无穷的另外一个可能思路（我个人的看法）是考虑无穷小进制。我们知道，在绝对无穷小进制下，实数集就是整数集。因为整数集是可数的，所以在绝对无穷小进制下，连续统假设自然崩溃。如果从这个角度去理解康托尔的”泛无穷（transinfinite)“，似乎又有科系收敛的味道。这一段纯属个人的胡思乱想。

白水

科普也好常识也罢，都让普通人为难。我们有一个龟兔赛跑，最后结果乌龟胜了，这个必须得踮起脚尖，高抬，还不能落下，生怕犯规。

紫荆棘鸟

白水 发表于 2021-8-15 20:10
科普也好常识也罢，都让普通人为难。我们有一个龟兔赛跑，最后结果乌龟胜了，这个必须得踮起脚尖，高抬，还 ...

这篇文章，背后的本质实际上是对无穷大的理解。
虽然普通读者也能多少看点明白，但这触及到数学的根基。人类历史上所谓的三次数学危机，第二个和第三个危机和这个息息相关。

我上本科时，选了一门群论/离散数学的课程，任课教师是曲婉玲，她是个口碑很好很认真负责的老师。有次我问了她老人家一个这样的问题（是写在纸上的，我通常是极少极少问问题的），大意是：

0）（根据教材）整数集合 Z 的基数（集合的基数，实际意义是其所包含的元素的个数），在无穷集合中是最小的，通常用 A_0 （阿列夫_0) 表示: |Z| = A_0；
1）假设有个集合 S, 其幂集就是 Z
      显然 S 必须是无穷集合，所以 |S| （S 的基数）应该大于或者等于 |Z| = A_0  （因为整数集合是“数量”最小的无穷集合），所以
         |S|>= A_0
      但是 Z 是 S 的幂集，根据伯恩斯坦定理，A_0 = |Z| > |S|
      上述两个结论是矛盾的，您如何解释？


过了很多天，曲教授说她没法解释，所以只能假设这样的集合 S 不存在。

白水

是，这类问题深奥，脑子常转不过弯。高中时最怕上集合，微积分，看见那两个竖道头就大，到毕业这两门课都没有学完，最后老师也不讲了。

紫荆棘鸟

白水 发表于 2021-8-15 22:45
是，这类问题深奥，脑子常转不过弯。高中时最怕上集合，微积分，看见那两个竖道头就大，到毕业这两门课都没 ...

中学的集合论，没讲多少，都是些比较简单自明的东西。
微积分应该不是必修课，而是选修课，否则大部分同学会吃不消。
我念高中时是不需要上什么语文数学物理历史等课程的，也不需要做作业，也不需要考试（当然也可以去上课做作业等，事实上我也上了几门课，但这不是必须的），所以有时间学习一元微积分，只是那时学得不怎么样而已:)

云上云上

这要多聪明的头脑，才能写出这么深奥的文字与数字呢？